Nhận xét: Bằng định nghĩa, ta chứng minh được:
- Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: (c)' = 0 với c là hằng số.
- Đạo hàm của hàm số y = x bằng 1: (x)' = 1.
Hàm số (y=sqrt x) có đạo hàm tại mọi (x in R, x>0) và ((sqrt x)'={1 over {2 sqrt x}}).
- Hàm số (y = sin x) có đạo hàm tại mọi (x in R) và ((sinx)' = cosx).
- Hàm số (y = cos x) có đạo hàm tại mọi (x in R) và ((cosx)' = - sinx).
- Hàm số (y = tan x) có đạo hàm tại mọi (xne frac{pi }{2}+kpi ,kin Z) và ((tan x)'=frac{1}{{{cos }^{2}}x}).
- Hàm số (y = cot x) có đạo hàm tại mọi (xne kpi ,kin Z) và ((cot x)'=frac{1}{{{sin }^{2}}x}).
- Hàm số (y = {{e}^{x}}) có đạo hàm tại mọi (x in R) và (({{e}^{x}})' ={{e}^{x}}).
- Hàm số (y = {{e}^{x}}) ((a > 0, a ne 1)) có đạo hàm tại mọi (x in R) và (({{a}^{x}})' ={{e}^{x}}lna).
e. Đạo hàm của hàm số lôgarit
- Hàm số (y = ln x) có đạo hàm tại mọi x dương và ((lnx)' = {{1}^{x}})
- Hàm số (y = {log_a}x) ((a>0, a ne 1)) có đạo hàm tại mọi x dương và (({log_a}x)'=1 over xlna).
Định lí
Giả sử (f = f(x), g = g(x)) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
Ta có:
((f+g)'=f'+g')
((fg)'= f'g+fg')
((f-g)'=f'-g')
(left( frac{f}{g} right)'=frac{f'g-fg'}{{{g}^{2}}}(g=g(x)ne 0))
Hệ quả: Cho (f = f(x)) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
- Nếu c là một hằng số thì ((cf)' = cf').
- (left( frac{1}{f} right)'=-frac{f'}{{{f}^{2}}}(f=f(x)ne 0)).
Giả sử hàm số (u = g(x)) xác định trên (a ; b) và lấy giá trị trên (c ; d); (y = f(u)) là hàm số của u, xác định trên (c ; d) và lấy giá trị trên R. Khi đó, ta có thể lập được một hàm số mới xác định trên (a ; b) và lấy giá trị trên R theo quy tắc như hình dưới.
Hàm số (y = f(g(x))) được gọi là hàm hợp của hai hàm số (y=f(u), u=g(x)).
Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp
Nếu hàm số (u = g(x)) có đạo hàm tại x là ({u'_x}) và hàm số (y = f(u)) có đạo hàm tại u là ({y'_u}) thì hàm hợp (y = f(g(x))) có đạo hàm tại x là ({y'_x}={y'_u}.{u'_x}).
Nhận xét: Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp: