1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng
(ax + by = c),
trong đó a, b và c là các số cho trước, (a ne 0) hoặc (b ne 0).
Ví dụ: (2x + 3y = 4), (0x + 2y = 3), (x + 0y = 2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho phương trình bậc nhất hai ẩn x, y: (ax + by = c).
Nếu (a{x_0} + b{y_0} = c) là một khẳng định đúng thì cặp số (left( {{x_0};{y_0}} right)) được gọi là một nghiệm của phương trình (ax + by = c).
Ví dụ: Cặp số (( - 1;2)) là nghiệm của phương trình (2x + 3y = 4) vì (2.left( { - 1} right) + 3.2 = - 2 + 6 = 4).
Cặp số ((1;2)) không là nghiệm của phương trình (2x + 3y = 4) vì
(2.1 + 3.2 = 2 + 6 = 8 ne 4).
Chú ý:
Ta cũng áp dụng được quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân đã biết ở phương trình bậc nhất một ẩn để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn.
Biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng tọa độ Oxy
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình (ax + by = c) được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm (left( {{x_0};{y_0}} right)) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (left( {{x_0};{y_0}} right)).
- Mỗi nghiệm của phương trình (ax + 0y = cleft( {a ne 0} right)) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (left( {frac{c}{a};{y_0}} right)) (left( {{y_0} in mathbb{R}} right)) nằm trên đường thẳng ({d_1}:x = frac{c}{a}). Đường thẳng ({d_1}) là đường thẳng đi qua điểm (frac{c}{a}) trên trục Ox và vuông góc với trục Ox.
- Mỗi nghiệm của phương trình (0x + by = cleft( {b ne 0} right)) được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ (left( {{x_0};frac{c}{b}} right)left( {{x_0} in mathbb{R}} right)) nằm trên đường thẳng ({d_2}:y = frac{c}{b}). Đường thẳng ({d_2}) là đường thẳng đi qua điểm (frac{c}{b}) trên trục Oy và vuông góc với trục Oy.
- Mỗi nghiệm của phương trình (ax + by = cleft( {a ne 0,b ne 0} right)) được biểu diễn bởi một điểm nằm trên đường thẳng ({d_3}:y = - frac{a}{b}x + frac{c}{b}).
Ví dụ:
Nghiệm của phương trình ( - 3x + y = 2) được biểu diễn bởi đường thẳng d: (y = 3x + 2).
Nghiệm của phương trình (0x + y = - 2) được biểu diễn bởi đường thẳng d: (y = - 2) vuông góc với Oy tại điểm (Mleft( {0; - 2} right)).
Nghiệm của phương trình (2x + 0y = 3) được biểu diễn bởi đường thẳng d: (x = 1,5) vuông góc với Ox tại điểm (Nleft( {1,5;0} right)).
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng:
(left{ begin{array}{l}ax + by = ca'x + b'y = c'end{array} right.(I)),
ở đó mỗi phương trình (ax + by = c) và (a'x + b'y = c') đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ: Hệ phương trình (left{ begin{array}{l}2x - y = 0x + y = 3end{array} right.), (left{ begin{array}{l}3x = 1x - y = 3end{array} right.), (left{ begin{array}{l}4x - y = 33y = 6end{array} right.) là các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Nếu (left( {{x_0};{y_0}} right)) là nghiệm của từng phương trình trong hệ (I) thì cặp số (left( {{x_0};{y_0}} right)) được gọi là một nghiệm của hệ (I).
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.
Ví dụ: Cặp số (1; 2) là một nghiệm của hệ phương trình (left{ begin{array}{l}2x - y = 0x + y = 3end{array} right.), vì:
(2x - y = 2.1 - 2 = 0) nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ nhất.
(x + y = 1 + 2 = 3) nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ hai.